Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，．

(1)求證：；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．

【解析】

（I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，由此證得.（II）以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，由此計(jì)算出線面角的正弦值.（III）設(shè),用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判斷存在符合題意的點(diǎn).

解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>為正方形，

所以．

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

且平面平面，

所以平面．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．

因?yàn)?/span>，所以兩兩垂直．

分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?/span>，，

所以，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 即

令，則，

所以．

設(shè)直線與平面所成角為，

則．

（Ⅲ）設(shè)，

設(shè)，則，

所以，所以，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

因?yàn)?/span>，所以

令，則，所以．

在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得．

因?yàn)?/span>，由，

所以，

解得，

所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．