Question

【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù).

（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

（2）不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用二次不等式恒成立問題求解即可.

解：（1）∵函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，

，，

等式對(duì)于任意的均恒成立，得，

則，

即，

設(shè)為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，

，

因?yàn)?/span>，則，

所以，即，

因此函數(shù)在上是增函數(shù);

（2）由不等式對(duì)任意的恒成立，

則.由（1）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，

則，即在上恒成立.令，，則在上恒成立.

①當(dāng)時(shí)，即，可知，即，

所以；

②當(dāng)時(shí)，即，可知.

即，所以；

③當(dāng)時(shí)，即，可知，即，

所以，

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意的恒成立.