Question

對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中， 對自然數(shù)，規(guī)定為的階差分數(shù)列，其中．

（1）已知數(shù)列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？

（2）若數(shù)列首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式。

（3）對（2）中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。

（2），，，，猜想：

證明：數(shù)學歸納法。

（3）組合數(shù)性質(zhì)證得，存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成 。

【解析】

試題分析：（1）， 1分

∴是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。            2分

                3分

∴是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。

4分

（2），即，即，∴          6分

∵，∴，，，猜想：

7分

證明：ⅰ）當時，；

ⅱ）假設(shè)時，            8分

時， 結(jié)論也成立

∴由�。�、ⅱ）可知，           10分

（3），即

.   ...11分

∵       13分

∴存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成  14分

考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，數(shù)學歸納法，組合數(shù)的性質(zhì)。

點評：中檔題，本題綜合性較強，將數(shù)列、數(shù)學歸納法、二項式系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法，研究得到數(shù)列的特征，是常見題型。（3）小題利用二項式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式，得到證明恒等式的目的。