Question

袋中裝有m個紅球和n個白球，m≥n≥2，這些紅球和白球除了顏色不同以外，其余都相同．從袋中同時取出2個球．
（1）若取出是2個紅球的概率等于取出的是一紅一白的2個球的概率的整數(shù)倍，試證m必為奇數(shù)；
（2）在m，n的數(shù)組中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，試求適合m+n≤40的所有數(shù)組（m，n）．

Answer 1

分析：對于（1）首先設(shè)取出2個球是紅球的概率是取出的球是一紅一白2個球的概率的k倍，k為整數(shù)．然后分別計算出取出2個球是紅球的概率和取出的球是一紅一白2個球的概率，列出關(guān)系式，判斷m的奇偶性即可．
對于（2）在m，n的數(shù)組中，分別求出取出的球是同色的概率和不同色的概率，然后相等得到關(guān)系式∴m²-m+n²-n-2mn=0，又由m+n≤40，求出可能的組數(shù)即可得到答案．

解答：解：（1）設(shè)取出2個球是紅球的概率是取出的球是一紅一白2個球的概率的k倍（k為整數(shù)）
則有

C 2 m

C 2 m+n

=k

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

∴

m(m-1)

2

=kmn
即m=2kn+1∵k∈Z，n∈Z，
即m為奇數(shù)得證．
（2）由題意，有

C 2 m + C 2 n

C 2 m+n

=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，
∴

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=mn
∴m²-m+n²-n-2mn=0
即（m-n）²=m+n，∵m≥n≥2，∴m+n≥4，
∴4≤m-n≤

40

＜7，m-n的取值只可能是2，3，4，5，6
相應(yīng)的m+n的取值分別是4，9，16，25，36，
∴

m=3 n=1

或

m=6 n=3

或

m=10 n=6

或

m=15 n=10

或

m=21 n=15

，
注意到m≥n≥2
∴（m，n）的數(shù)組值為（6，3），（10，6），（15，10），（21，15）．

點評：此題主要考查排列組合等簡單的計數(shù)問題，對學(xué)生靈活應(yīng)用能力要求較高，題中涵蓋知識點較多且有一定的計算量，屬于中檔題目．