【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的方程為，設(shè)AB是過(guò)橢圓C中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上與O不重合的點(diǎn).

（1）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程；

（2）若，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）記M是l與橢圓C的交點(diǎn)，若直線AB的方程為，當(dāng)面積取最小值時(shí)，求直線AB的方程；

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓方程確定雙曲線方程的，，即可求出雙曲線方程；

（2）設(shè)，根據(jù)，建立，的關(guān)系即可求出點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）根據(jù)題設(shè)條件，建立關(guān)于斜率的表達(dá)式，利用面積最小值求出斜率，進(jìn)而求出直線AB的方程.

（1）由題知橢圓C的方程為，

則橢圓的，，，

所以橢圓的左焦點(diǎn)和左頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

設(shè)雙曲線方程為，

根據(jù)題中條件有雙曲線方程的，，，

所以雙曲線方程為.

（2）設(shè)，，

由題知,，

有，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

有，

所以點(diǎn)的軌跡方程為.

（3）由題知，，

聯(lián)立，

解得，，

所以，

，

因?yàn)?/span>是線段AB的垂直平分線，

所以，

聯(lián)立，

解得，，

所以，

所以，

整理得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

等號(hào)成立時(shí)面積最小，即，

所以當(dāng)面積取最小值時(shí)，直線AB的方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，（其中常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展，我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視，企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元，日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè)，且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段（以1小時(shí)為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為，且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.

（1）當(dāng)時(shí)，求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；

（2）若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)（不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問(wèn)該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)？并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線上任意一點(diǎn)到直線：的距離是它到點(diǎn)距離的2倍；曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線.

（1）求，的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，分別以，為切點(diǎn)引曲線的兩條切線，，設(shè)，相交于點(diǎn).連接的直線交曲線于，兩點(diǎn).

（i）求證：；

（ii）求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】動(dòng)圓與相外切，與相內(nèi)切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）是動(dòng)圓的半徑最小時(shí)的圓，傾斜角為且過(guò)點(diǎn)的直線l與相切，與軌跡交于，兩點(diǎn)，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程，并求時(shí)直線的普通方程；

（2）直線和曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中、.若恒成立，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為______.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為做好創(chuàng)建國(guó)家生態(tài)文明單位的需要，某地甲、乙兩大型企業(yè)決定先從本企業(yè)的所有員工中隨機(jī)抽取8名員工，對(duì)自己所在企業(yè)的生態(tài)文明建設(shè)狀況進(jìn)行自我內(nèi)部的評(píng)分調(diào)查（滿分100分），被抽取的員工的評(píng)分結(jié)果如右表：

（1）若分別從甲、乙兩企業(yè)被抽取的8名員工中各抽取1名，在已知兩人中至少一人評(píng)分不低于80分的條件下，求抽到的甲企業(yè)員工評(píng)分低于80分的概率；

（2）用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，若從甲企業(yè)的所有員工中，再隨機(jī)抽取4名員工進(jìn)行評(píng)分細(xì)節(jié)調(diào)查，記抽取的這4名員工中評(píng)分不低于90分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．

（1）求直線的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)為原點(diǎn)，，求證:為定值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案