Question

11．已知直線y=x+b與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于A，B兩個不同的點．
（1）求實數(shù)b的取值范圍；
（2）已知弦AB的中點P的橫坐標是$-\frac{2}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）將y=x+b 代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0，由△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0 即可
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）得x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$=-$\frac{2}{3}$×2，可得b．

解答 解：（1）將y=x+b 代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0
∵直線y=x+b與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交于A，B兩個不同的點
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0，∴-$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{3}$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）得x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$=-$\frac{2}{3}$×2，得到b=1，滿足-$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{3}$．故b=1．

點評 本題主要考查了直線與橢圓的相交關(guān)系的應用，方程思想的應用是解答直線與曲線位置關(guān)系工具，屬于基礎(chǔ)題．