Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時f（x）=-2（x-3）²，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  2

  2

  )
• B．(0，

  3

  3

  )
• C．(0，

  5

  5

  )
• D．(0，

  6

  6

  )

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x）-f（1）恒成立可知f（x）圖象以x=2為對稱軸，周期T=2，作出f（x）的圖象，使得y=log_a（x+1）的圖象與f（x）的圖象至少有三個交點．

解答：解：由f（x+2）=f（x）-f（1）得f（x+2）+f（1）=f（x），以-x代x，得f（-x+2）+f（1）=f（-x），
由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x），得出f（x+2）=f（-x+2）①，可知f（x）圖象以x=2為對稱軸．
在f（x+2）=f（x）-f（1），令x=-1，得出f（1）=f（-1）-f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）周期T=2，
作出f（x）的圖象，
∵y=log_a（x+1）的圖象與f（x）的圖象至少有三個交點，即有l(wèi)og_a（2+1）＞f（2）=-2且0＜a＜1，解得a∈(0，

3

3

)，
故選B．

點評：本題考查利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點的判斷．其中推導(dǎo)出周期性和對稱性是關(guān)鍵．