Question

（本題14分）一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球。已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是。
（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，
（i）求白球的個(gè)數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于。并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少。

Answer 1

（Ⅰ）（i）5
（ii）
（Ⅱ）證明見解析。

本題主要考查排列組合、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率和隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，同時(shí)考查學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．滿分14分。
（Ⅰ）解：（i）記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，
設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為，則，
得到，故白球有5個(gè)。
（ii）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分布列是

	0	1	2	3

的數(shù)學(xué)期望
。
（Ⅱ）證明：設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意得，
所以，，故。
記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，則
。
所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于。
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少。