Question

已知正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足a₁+a₅=

2

7

a₃²，S₇=63
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2an-1，求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差為，由此能求出a_n=2n+1．
（Ⅱ）由bn=2an-1且an=2n+1，得bn=4n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，a_n＞0．
則

a1+a1+4d= 2 7 (a1+2d)2 7a1+21d=63

，
得

a1=3 d=2

．
∴a_n=2n+1．

（Ⅱ）∵bn=2an-1且an=2n+1，
∴bn=4n，

an

bn

=

2n+1

2n

，

∴Tn= a1 b1 + a2 b2 +…+ an-1 bn-1 + an bn = 2×1+1 41 + 2×2+1 42 +…+ 2(n-1)+1 4n-1 + 2n+1 4n

∴

1

4

Tn=

2×1+1

42

+

2×2+1

43

+…+

2(n-1)+1

4n

+

2n+1

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

2×1+1

41

+

2

42

+

2

43

+…+

2

4n

-

2n+1

4n+1

，
∴Tn=

11

9

-(

11

9

+

2n

3

)•

1

4n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．