從平面α外一點P向平面α引垂線PO與斜線PA、PB，垂足為A、B．
（1）若∠APB=60°，PA、PB分別和α成30°、45°角，求cos∠AOB的值；
（2）若PA、PB和平面α所成角的差為45°，且AO=2，BO=12，求PO的長；
（3）若PA：PB=2：3，PA、PB與α所成的角之比依次為2：1，求PB與α所成角的正弦值．

解：（1）設PO=x，則有
在△PAB中，
在△OAB中，；
（2）由題意，設∠PBO=α，則∠PAO=45°+α
∴PO=2tan（α+45°）=12tanα，
∴或
∴P0=6或4；
（3）設PA=2a，PB=3a，∠PBO=β，則∠PAO=2β
∴2asin2β=3asinβ
∴
∴
分析：（1）利用∠APB=60°，在△PAB中，可求AB，進而在△OAB中，求cos∠AOB的值；
（2）由題意，設∠PBO=α，則∠PAO=45°+α，從而PO=2tan（α+45°）=12tanα，故可求tanα，進而可求PO的長；
（3）利用若PA：PB=2：3，PA、PB與α所成的角之比依次為2：1，設PA=2a，PB=3a，∠PBO=β，則∠PAO=2β，從而由2asin2β=3asinβ，故可求PB與α所成角的正弦值．
點評：本題以線面角為載體，考查點面距離，考查余弦定理，關鍵是理解線面角．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）過一點向平面引垂線，________叫做這個點在這個平面內(nèi)的射影；當這一點在平面內(nèi)時，該點在平面上的射影就是它______；這一點與_______的線段叫做這點到這個平面的_______.如圖所示，直線PQ⊥α,Q∈α,則點Q是______在平面α內(nèi)的_____，線段_______是點_______到平面α的______.?

（2）一條直線和一個平面相交，但不______時，這條直線就叫做這個平面的_______，斜線與平面的交點叫做_____.從平面外一點向平面引斜線，這點與________間的線段叫做這點到這個平面的_______.如圖所示，直線PR∩α=R,PR不______于α,直線PR是α的一條_____，點R為_______，線段_____是點P到α的______.?

（3）平面外一點到這個平面的垂線段______條，而這點到這個平面的______有無數(shù)條.?

（4）從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的_______，________與________間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面內(nèi)的________.如圖所示，直線_____是直線PR在平面α上的______，線段______是點P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影.?

（5）斜線上任意一點在平面上的射影一定在斜線的_____上.事實上，設a是平面α的斜線，B為斜足，在a上任取一點A，作AA1⊥α,A1是垂足，則A1、B確定的直線a′是a在平面α內(nèi)的______，如圖所示，設P是a上任意一點，在a和AA1確定的平面內(nèi)，作PP1∥AA1,PP1必與a′相交于一點P1.∵AA1α__________ ,PP1______________AA1，∴PP1__________α.P1為P在平面α上的射影，所以點P在平面α上的射影一定在直線a在平面α上的射影a′上.

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