Question

過點P（3，3）的圓C與直線x-y+2=0切于點（1，3）．
（1）求圓C的方程；
（2）點Q是圓C上任意一點，直線x+2y+2=0與兩坐標(biāo)軸的交點分別為A、B，求

QA

•

QB

的取值范圍；
（3）過點P作兩條直線與圓C分別交于E、F兩點，若直線PE與直線PF的傾斜角互補(bǔ)，試問：直線EF的斜率是否為定值？若是，求出直線EF的斜率；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用過點P（3，3）的圓C與直線x-y+2=0切于點（1，3），建立方程組，求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（2）設(shè)出Q的坐標(biāo)，求出A，B的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，表示出

QA

•

QB

，利用輔助角公式化簡，即可確定

QA

•

QB

的取值范圍；
（3）設(shè)直線PE的方程為：y=k（x-3）+3與圓C的方程聯(lián)立，求得E的坐標(biāo)，同理得到F的坐標(biāo)，利用斜率公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），則

b-3 a-1 •1=-1 (a-3)2+(b-3)2=(a-1)2+(b-3)2

，
∴a=b=2，圓的半徑為

2

，
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=2；
（2）直線x+2y+2=0中，令x=0，可得y=-1，令y=0，可得x=-2，∴A（-2，0），B（0，-1），
設(shè)Q（x，y），則

x=2+ 2 cosθ y=2+ 2 sinθ

，
∴

QA

•

QB

=（x+2，y）•（x，y+1）=x（x+2）+y（y+1）=16+5

2

sinθ+6

2

cosθ
=16+

122

sin（θ+α）∈[16-

122

，16+

122

]；
∴

QA

•

QB

的取值范圍是[16-

122

，16+

122

]；
（3）設(shè)直線PE的方程為：y=k（x-3）+3與圓C的方程聯(lián)立得：
（1+k²）x²-（6k²-2k+4）x+9k²-6k+3=0，
解得：x=3或x=

3k2-2k+1

k2+1

，
∴點E的坐標(biāo)為（

3k2-2k+1

k2+1

，

k2-2k+3

k2+1

）．
同理點F的坐標(biāo)為（

3k2+2k+1

k2+1

，

k2+2k+3

k2+1

）．
則k_EF=

k2+2k+3 k2+1 - k2-2k+3 k2+1

3k2+2k+1 k2+1 - 3k2-2k+1 k2+1

1為定值．

點評：本題考查圓的方程，考查圓的參數(shù)方程的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定圓的方程是關(guān)鍵．