甲、乙兩人進行圍棋比賽，規(guī)定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一方比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意將第二局比賽結(jié)束時比賽停止的兩種情況分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依題意知X的所有可能取值,然后利用獨立事件的概率公式求解概率.
試題解析：（Ⅰ）當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，故，      3分
解得或.又，所以.      5分
（Ⅱ）依題意知X的所有可能取值為2,4,6。    6分
設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為，若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有
，
，
，    9分
則隨機變量的分布列為

X
2
4
6
P



故.    12分
考點：1.互斥和獨立事件的概率；2.分布列和期望.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知A,B,C,D四個城市,它們各自有一個著名的旅游點,依次記為A,b,C,D,把A,B,C,D和A,b,C,D分別寫成左、右兩列.現(xiàn)在一名旅游愛好者隨機用4條線把城市與旅游點全部連接起來, 構(gòu)成“一一對應”.規(guī)定某城市與自身的旅游點相連稱為“連對”,否則稱為“連錯”,連對一條得2分,連錯一條得0分.
(Ⅰ)求該旅游愛好者得2分的概率.
(Ⅱ)求所得分數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取12件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
76
81
  （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共84件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，
①用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
②從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識,某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中
隨機抽取100名志愿者,其年齡頻率分布直方圖如圖所示,其中年齡分組區(qū)間是：
.
(I)求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù);
(II)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動,再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖是在豎直平面內(nèi)的一個“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有一條的為第一層，有二條的為第二層， ，依次類推．現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動，若在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道．記小彈子落入第層第個豎直通道（從左至右）的概率為，某研究性學習小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)小彈子落入第層的第個通道的次數(shù)服從二項分布，請你解決下列問題.

（Ⅰ）試求及的值，并猜想的表達式；（不必證明）
（Ⅱ）設(shè)小彈子落入第6層第個豎直通道得到分數(shù)為，其中，試求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學生的體重（單位：千克）情況，將從該市某學校抽取的樣本數(shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖．已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為1:2:3，其中第2小組的頻數(shù)為12．

（Ⅰ）求該校報考體育專業(yè)學生的總?cè)藬?shù)n;
（Ⅱ）若用這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計該市的總體情況，現(xiàn)從該市報考體育專業(yè)的學生中任選3人，設(shè)表示體重超過60千克的學生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

按照新課程的要求, 高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動(以下簡稱活動). 該校高2010級一班50名學生在上學期參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．
（I）求該班學生參加活動的人均次數(shù)；（II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．
（III）從該班中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組: ,,,,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
  
附表:

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某6張券中有一等獎 券１張，可獲價值50元的獎品；有二等獎券1張，每張可獲價值20元的獎品；其余4張沒有獎．某顧客從此6張中任抽1張，求：
（1）該顧客中獎的概率；
（2）該顧客參加此活動可能獲得的獎品價值的期望值．

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