分析 (1)將m=1,a=0代入函數(shù)表達(dá)式,通過(guò)討論x的范圍,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),從而求出函數(shù)的單調(diào)性;
(2)將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式,通過(guò)討論x的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),令f(x)=0,從而求出函數(shù)的零點(diǎn),由題意討論可求m的取值范圍.
(3)將m=1,代入函數(shù)表達(dá)式,通過(guò)討論x與a的大小的范圍,去絕對(duì)值,求解g(x)=log2(4x)•log2$\frac{4}{x}$,在任意x∈(0,+∞)的值域M,討論f(x)在R上函數(shù)的值域N,M⊆N從而求出a的取值范.
解答 解:(1)若m=1,a=0,則f(x)=x|x|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+x+1,x<0\\{x}^{2}-x+1,x≥0\end{array}\right.$,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得:
函數(shù)f(x)在(-∞,0)和($\frac{1}{2}$,+∞)上為增函數(shù),在(0,$\frac{1}{2}$)上為減函數(shù),
(2)若a=1,則f(x)=mx|x-1|-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}-{mx}^{2}+(m-1)x+1,x<0\\-{mx}^{2}+(m+1)x+1,0≤x≤1\\{mx}^{2}-(m+1)x+1,x>1\end{array}\right.$,
令f(x)=0,
當(dāng)x<0時(shí),解得:x=-$\frac{1}{m}$,或x=1(舍去),
當(dāng)0≤x≤1時(shí),解得:x=$\frac{-(m+1)±\sqrt{(m+1)^{2}+4m}}{-2m}$=$\frac{m+1±\sqrt{{m}^{2}+6m+1}}{2m}$,
當(dāng)x>1時(shí),解得:x=$\frac{1}{m}$,或x=1(舍去),
∵f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),
①當(dāng)m≥1時(shí),x=-$\frac{1}{m}$為零點(diǎn),x=$\frac{m+1±\sqrt{{m}^{2}+6m+1}}{2m}$不在[0,1]上,
即x1=$\frac{m+1+\sqrt{{m}^{2}+6m+1}}{2m}$>1,
x2=$\frac{m+1-\sqrt{{m}^{2}+6m+1}}{2m}$<0
解得:m>0,
∴m≥1,符合題意;
②0<m<1時(shí),x=$\frac{1}{m}$為零點(diǎn),根x=$\frac{m+1±\sqrt{{m}^{2}+6m+1}}{2m}$不在[0,1]上,滿足題意.
∴0<m<1.
綜上可得m的取值范圍是(0,+∞).
(3)總存在x1∈R,對(duì)任意x2∈(0,+∞)恒有g(shù)(x2)<f(x1)-x12成立?總存在x1∈R,對(duì)任意x2∈(0,+∞)恒有:g(x2)max<$[f({x}_{1})-{x}_{1}^{2}]_{min}$.
函數(shù)g(x)=log2(4x)•log2$\frac{4}{x}$=(2+log2x)(2-log2x),
令t=log2x,x∈(0,+∞).
則t∈R.
那么函數(shù)h(t)=4-t2其值域?yàn)椋?∞,4].即函數(shù)g(x)的值域M∈(-∞,4].∴g(x)max=4.
∵將m=1代入,可得:f(x)=x|x-a|-|x|+1
則f(x)-x2=x|x-a|-|x|+1-x2
當(dāng)a=0時(shí),由(1)可得:f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+x+1,(x<0)}\\{-x+1,(x>0)}\end{array}\right.$
其f(x)的值域N為(-∞,0),不滿足題意.
當(dāng)a>0時(shí),f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x(a-x)+x+1-{x}^{2},(x<0)}\\{x(a-x)-x+1-{x}^{2},(0≤x≤a)}\\{x(x-a)-x+1-{x}^{2},(x>a)}\end{array}\right.$,
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查二次函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想,是一道中檔題.
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A. | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$,1) | B. | [$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1) | C. | (0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$] | D. | (0,$\frac{\sqrt{6}}{3}$] |
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A. | $\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1 | B. | $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C. | $\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | D. | $\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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