Question

3．設(shè)p：集合A={x|x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x|$\frac{x-3}{x+1}$＜0}．
（I）求集合A；
（II）當a＜1時，￢q是￢p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式的解法，討論a的取值范圍進行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)逆否命題之間的關(guān)系將條件進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合充分不必要條件的定義建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x-2a）[x-（a+1）]＜0，
①若2a＜a+1，即a＜1時，2a＜x＜a+1，
此時A=（2a，a+1），
②若2a=a+1，即a=1時，不等式無解，
此時A=∅，
③若2a＞a+1，即a＞1時，a+1＜x＜2a，
此時A=（a+1，2a）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＜1時，A=（2a，a+1），
B={x|$\frac{x-3}{x+1}$＜0}={x|-1＜x＜3}=（-1，3），
若￢q是￢p的充分不必要條件，
即p是q的充分不必要條件，
即A?B，
則$\left\{\begin{array}{l}{2a≥-1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
則-$\frac{1}{2}$≤a≤2，
∵a＜1，∴-$\frac{1}{2}$≤a＜1，
則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題主要考查集合的求解，結(jié)合一元二次不等式的解法以及充分條件和必要條件的定義進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進行討論．