Question

3．在1，2，3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)．
（1）組成三位數(shù)“abc”，若滿足a＜b＞c的三位數(shù)叫做凸數(shù)，這樣的凸三位數(shù)有多少個(gè)？
（2）設(shè)X為所取3個(gè)數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)，共有${C}_{9}^{3}$=84種等可能的結(jié)果，由條件得最大的在中間，其它兩個(gè)排兩邊，有2種排法，由此能求出這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．
（2）由題意得X的取值范圍為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)不同的數(shù)，共有${C}_{9}^{3}$=84種等可能的結(jié)果…（2分）
由條件得最大的在中間，其它兩個(gè)排兩邊，有2種排法，…（4分）
所以這樣的三位數(shù)共有$C_9^3×2=84×2=168$個(gè)．…（6分）
（2）由題意得X的取值范圍為0，1，2，3，…（7分）
P（X=0）=$\frac{C_5^0C_4^3}{C_9^3}=\frac{1}{21}$，P（X=1）=，
P（X=2）=$\frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}=\frac{10}{21}$，P（X=3）=$\frac{C_5^3C_4^0}{C_9^3}=\frac{5}{42}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{42}$

…（11分）
（算對(duì)1個(gè)給（1分），不列表格或只列表格照樣給分）
EX=$0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}=\frac{5}{3}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．