Question

14．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）已知f（x）在定義域上為減函數(shù)，若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0（k為常數(shù)）恒成立．求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x）中的特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是定義在R的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）
令x=0，f（0）=-f（0），f（0）=0
令x=1，f（-1）=-f（1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{-{2^0}+b}}{2'+a}=0}\\{\frac{{-{2^{-1}}+b}}{{{2^0}+a}}=-\frac{{-{2^1}+b}}{{{2^2}+a}}}\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}$；
（Ⅱ）經(jīng)檢驗，當(dāng)a=2，b=1時，f（x）為奇函數(shù)．
所以f（t²-2t）＜-f（2t²-k）
因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（t²-2t）＜f（k-2t²）
因為f（x）在R上單調(diào)減，所以t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0在R上恒成立，所以△=4+4•3k＜0
所以k＜-$\frac{1}{3}$，即k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．