【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求

3)判斷數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.

【答案】123)數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.見解析

【解析】

1)利用及公式,代入后可證明數(shù)列為等比數(shù)列.結(jié)合求得,即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2)先表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得求得后代入.即可求得的值.

3)假設(shè)數(shù)列中是否存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.設(shè)第m,n,k)項(xiàng)成等差數(shù)列,代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)變形,構(gòu)造函數(shù),證明上的單調(diào)性,化簡(jiǎn)變形可得矛盾,從而證明數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.

1當(dāng)時(shí),,解得.

當(dāng)時(shí),,.

因?yàn)?/span>,所以,從而數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

所以.

2)因?yàn)?/span>,所以,故數(shù)列是以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,

從而,

,

所以.

3)不存在.理由如下.

假設(shè)中存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)第m,n,k)項(xiàng)成等差數(shù)列,

,.

因?yàn)?/span>,m,n,,所以.

,,顯然上是增函數(shù),

所以,,

所以,

所以,其左邊為負(fù)數(shù),右邊為正數(shù),故矛盾,

所以數(shù)列中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如果命題是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)求證:①對(duì)恒成立.對(duì)恒成立,其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(3)記的前n項(xiàng)和,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,都有.

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