已知二次函數(shù)f(x)=x2+x的定義域D 恰是不等式 f(-x)+f(x)≤2|x|的解集,其值域為A.函數(shù) 數(shù)學公式的定義域為[0,1],值域為B.
(1)求f (x) 的定義域D和值域 A;
(2)(理) 試用函數(shù)單調性的定義解決下列問題:若存在實數(shù)x0∈(0,1),使得函數(shù) 數(shù)學公式在[0,x0]上單調遞減,在[x0,1]上單調遞增,求實數(shù)t的取值范圍并用t表示x0
(3)(理) 是否存在實數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求實數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(4)(文) 是否存在負實數(shù)t,使得A⊆B成立?若存在,求負實數(shù)t 的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(5)(文) 若函數(shù)數(shù)學公式在定義域[0,1]上單調遞減,求實數(shù)t的取值范圍.

解:(1)∵f(-x)+f(x)=2x2≤2|x|的解集為為[-1,1]
函數(shù)定義域D=[-1,1]值域 A=
(2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2

∴3t>x12+x22+x1x2≥3x02
同理 由在[x0,1]上單調遞增得3t≤3x02
所以 3t=3x02由x0∈(0,1)得t∈(0,1)…
(3)(理) 由(2)的單調性分析同理可得 t 的不同取值,函數(shù)g(x)的單調性
①當 t≤0時,函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調遞增,∴B=[,],
,…
②當 0<t<1 時,函數(shù) g(x)的減區(qū)間為:;g(x)的增區(qū)間為:[,1].
g(x)在 x=達到最小值.此與0<t<1矛盾. …
③當t≥1時,函數(shù) g(x) 在區(qū)間[0,1]單調遞減,∴B=[]

綜上所述:t的取值范圍是:
(4)(文) 即(3)(理)①
當 t≤0時,函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調遞增,∴B=[,],
,
(5)(文) 類比 (2)(理) 得t≥1 …
分析:(1)由f(-x)+f(x)=2x2≤2|x|的解集為為[-1,1]可求函數(shù)定義域D結合二次函數(shù)的性質可求,值域A
(2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2)可得3t>x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0,1]上單調遞增得3t≤3x02則 3t=3x02由x0∈(0,1)可求t的范圍
(3)(理) 由(2)的單調性分析同理可得 t 的不同取值,函數(shù)g(x)的單調性
①當 t≤0時,函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調遞增,可求B,進而可求t的范圍
②當 0<t<1 時,函數(shù) g(x)的減區(qū)間為:;g(x)的增區(qū)間為:[,1].
g(x)在 x=達到最小值.③當t≥1時,函數(shù) g(x) 在區(qū)間[0,1]單調遞減可求t的范圍
(4)(文) 即(3)(理) ①當 t≤0時,函數(shù) g(x)=x3-3tx+在 x∈[0,1]單調遞增,可求B,進而可求t的范圍
(5)(文) 類比 (2)(理)在[0,x0]上任取x1,x2,且x1<x2,則g(x1)>g(x2)可得3t>x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0,1]上單調遞增得3t≤3x02則 3t=3x02由x0∈(0,1)可求t的范圍
點評:本題主要考查了絕對值不等式的解法,及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解,函數(shù)的單調性的應用,解答本題要求考生具備較強的邏輯推理的能力及計算的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)設函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結論給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案