Question

（2013•鹽城一模）B．（選修4﹣2：矩陣與變換）已知矩陣M的一個(gè)特征值為3，求M 的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

 

Answer 1

矩陣M的另一個(gè)特征值為﹣1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=．

【解析】

試題分析：根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一個(gè)特征值為λ2=﹣1．最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

【解析】
矩陣M的特征多項(xiàng)式為

f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣x）﹣4．

∵λ1=3方程f（λ）=0的一根，

∴（3﹣1）（3﹣x）﹣4=0，可得x=1，M=．

∴方程f（λ）=0即（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=0，λ2﹣2λ﹣3=0

可得另一個(gè)特征值為：λ2=﹣1，

設(shè)λ2=﹣1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=，

則由λ2α=Mα，得 得x=﹣y，可令x=1，則y=﹣1，

所以矩陣M的另一個(gè)特征值為﹣1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=．