Question

7．已知?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，則實數(shù)m的取值范圍為（-∞，e-1）．

Answer 1

分析 若?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，則m小于函數(shù)f（x）=$lnx+{e}^{a}-\frac{a}{2}（x+1）$最大值的最小值，利用導(dǎo)數(shù)法求得答案．

解答 解：令f（x）=$lnx+{e}^{a}-\frac{a}{2}（x+1）$，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)a∈[1，2），x∈（0，1]時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=1時，函數(shù)取最大值e^a-a，
令g（a）=e^a-a，則g′（a）=e^a-1，
當(dāng)a∈[1，2）時，g′（a）＞0恒成立，
故g（a）在區(qū)間[1，2）上為增函數(shù)，
當(dāng)a=1時，函數(shù)取最小值e-1，
若?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x_0}+{e^a}＞\frac{{a{x_0}}}{2}+\frac{a}{2}+m$，
即?a∈[1，2），?x₀∈（0，1]，使得$ln{x}_{0}+{e}^{a}-\frac{a}{2}{（x}_{0}+1）＞m$成立，
故m＜e-1，
故實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，e-1）
故答案為：（-∞，e-1）．

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，存在性問題和恒成立問題，難度中檔．