【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an和Sn滿足:4Sn=(an+1)2 (n=1,2,3……),

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn ,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn;

(3)在(2)的條件下,對(duì)任意n∈N*,Tn都成立,求整數(shù)m的最大值.

【答案】(1);(2);(3) .

【解析】

(1)由4Sn=(an+1)2,知4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),由此得到(an+an-1)(an-an-1-2)=0.從而能求出{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)知

,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出Tn
(3)由(2)知

從而得到 .由此能求出任意n∈N*,Tn都成立的整數(shù)m的最大值.

:(1)∵4Sn=(an+1)2,①
∴4Sn-1=(an-1+1)2(n≥2),②
①-②得
4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2
化簡(jiǎn)得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
∵an>0,∴an-an-1=2(n≥2).
∴{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.
∴an=1+(n-1)2=2n-1.
(2)

(3)由(2)知
∴數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列.

∴整數(shù)m的最大值是7.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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