【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.
(1)求,;
(2)函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸的交點為,且在點處的切線方程為,函數(shù),,求的最小值;
(3)關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根,,且,證明:.
【答案】(1),;(2)0;(3)證明見解析
【解析】
(1)由已知可得,,求出,可得的方程組,求解即可;
(2)先求出的負(fù)根,進而求出切線方程,求出函數(shù),進而求出單調(diào)區(qū)間,即可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)(2)可得的圖像在的上方,同理可證出的圖像也在以的另一零點為切點的切線上方,求出與兩切線交點的橫坐標(biāo)為,則有,即可證明結(jié)論.
(1)將代入切線方程中,
得,所以,
又或,
又,
所以,
若,則(舍去);
所以,則;
(2)由(1)可知,,
所以,
令,有或,
故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點為
曲線在點處的切線方程為,
則,
因為,
所以,
所以,.
若,,
若,,,
所以.
若,,
,
,所以在上單調(diào)遞增,
,函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時,取得極小值,也是最小值,
所以最小值.
(3),設(shè)的根為,
則,又單調(diào)遞減,
由(2)知恒成立.
又,所以,
設(shè)曲線在點處的切線方程為,則,
令,
.
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
故函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,
所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,即,
設(shè)的根為,則,
又函數(shù)單調(diào)遞增,故,故.
又,所以.
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【題目】如圖所示,在直三棱柱中,,,,,點在線段上.
(1)若,求異面直線和所成角的余弦值;
(2)若直線與平面所成角為,試確定點的位置.
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【題目】已知正四棱錐的底面邊長為高為其內(nèi)切球與面切于點,球面上與距離最近的點記為,若平面過點,且與平行,則平面截該正四棱錐所得截面的面積為______.
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且,現(xiàn)有如下四個結(jié)論:
;平面;
三棱錐的體積為定值;異面直線所成的角為定值,
其中正確結(jié)論的序號是______.
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【題目】若點在平面外,過點作面的垂線,則稱垂足為點在平面內(nèi)的正投影,記為.如圖,在棱長為的正方體中,記平面為,平面為,點是棱上一動點(與不重合),,.給出下列三個結(jié)論:①線段長度的取值范圍是;②存在點使得平面;③存在點使得.其中正確結(jié)論的序號是_______.
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【題目】如圖,真四棱柱的底面是菱形,,,,E,M,N分別是BC,,的中點.
(1)證明:面;
(2)求平面DMN與平面所成銳角的正切值.
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【題目】已知向量,,函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期與圖象的對稱軸方程;
(2)若,,函數(shù)的最小值是,最大值是2,求實數(shù),的值.
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【題目】如圖,在四棱錐ABCD中,和都是等邊三角形,平面PAD平面ABCD,且,.
(1)求證:CDPA;
(2)E,F分別是棱PA,AD上的點,當(dāng)平面BEF//平面PCD時,求四棱錐的體積.
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【題目】如圖,在四棱錐中,已知底面,,,,,是上一點.
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點,且二面角的余弦值是,求直線與平面所成角的正弦值.
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