Question

已知扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，設(shè)弧AB上有異于A，B的動(dòng)點(diǎn)C，線(xiàn)段OC與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，N為OM的中點(diǎn)，則∠AOB=

2π

3

；若

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則x+y=

1

2

．

Answer 1

分析：由扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，知

AB

=

π

3

，由此能求出∠AOB．由弧AB上有異于A，B的動(dòng)點(diǎn)C，線(xiàn)段OC與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，N為OM的中點(diǎn)，取

AB

的中點(diǎn)為C，利用特值法能求出x+y．

解答：解：∵扇形OAB的半徑為1，面積為

π

3

，
∴

AB

=

π

3

，
∴∠AOB=

2π

3

．
∵弧AB上有異于A，B的動(dòng)點(diǎn)C，線(xiàn)段OC與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，N為OM的中點(diǎn)，
∴可以取

AB

的中點(diǎn)為C，
如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形AOBP，
連接OP，交AB于M，取OA中點(diǎn)D，取OB中點(diǎn)E，取OD中點(diǎn)F，取OE中點(diǎn)G，
則

ON

=

1

4

OP

=

1

4

OA

+

1

4

OB

，
∵

ON

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，
∴x+y=

1

2

．
故答案為：

2π

3

，

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓心角的求法，考查平面向量的基本運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意特殊值的合理運(yùn)用．