Question

設當x=θ時，函數f(x)=sinx-

3

cosx取得最大值，則cosθ=

-

3

2

．

Answer 1

分析：利用輔助角公式化簡可得f（x）=2sin（x-

π

3

），結合正弦函數的圖象與性質算出：當x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）時，函數有最大值為2．由此得到θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），進而根據誘導公式算出cosθ的值．

解答：解：函數f(x)=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）
=2（sinxcos

π

3

-

3

2

cos

π

3

）=2sin（x-

π

3

）．
∴當x-

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z）時，即x=

5π

6

+2kπ（k∈Z）時，函數有最大值為2．
又∵當x=θ時，f（x）有最大值，∴θ=

5π

6

+2kπ（k∈Z），
可得cosθ=cos（

5π

6

+2kπ）=cos

5π

6

=cos（π-

π

6

）=-cos

π

6

=-

3

2

．
故答案為：-

3

2

點評：本題已知三角函數的表達式，求當函數取得最大值時，相應的x值．著重考查了三角恒等變換、正弦函數的圖象與性質、利用誘導公式求特殊的三角函數值等知識，屬于中檔題．