Question

【題目】某個體戶計劃經(jīng)銷A、B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為x（x≥0）萬元時，在經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f（x）萬元與g（x）萬元、其中f（x）=a（x﹣1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投資額為零時，收益為零．
（1）試求出a、b的值；
（2）如果該個體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)營這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10）．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)問題的實(shí)際意義，可知f（0）=0，g（0）=0

即： ，

（2）解：由（1）的結(jié)果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依題意，可設(shè)投入B商品的資金為x萬元（0＜x≤5），則投入A商品的資金為5﹣x萬元，若所獲得的收入為s（x）萬元，則有s（x）=2（5﹣x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）﹣2x+10（0＜x≤5）∵s（x）=

當(dāng)x＜2時，s′（x）＞0；當(dāng)x＞2時，s′（x）＜0；

∴x=2是s（x）在區(qū)間[0，5]上的唯一極大值點(diǎn)，此時s（x）取得最大值：

S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（萬元），此5﹣x=3（萬元）

答該個體戶可對A商品投入3萬元，對B商品投入2萬元，這樣可以獲得12.6萬元的最大收益．

【解析】（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配資金構(gòu)造新的函數(shù)s（x）=2（5﹣x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）﹣2x+10（0＜x≤5），再用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性，從而得出最值．