Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，若△的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且，則稱該三角形為“核心三角形”.

（1）是否存在“核心三角形”，其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和？請(qǐng)說明理由；

（2）設(shè)“核心三角形”的一邊所在直線的斜率為4，求直線的方程；

（3）已知△是“核心三角形”，證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見解析.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）利用求得第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷出這樣的“核心三角形”不存在.

（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)并代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.

（3）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，寫出判別式和韋達(dá)定理，利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)并代入拋物線方程，

（1）由于，即，即

，所以

第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

但點(diǎn)不在拋物線上，

∴這樣的“核心三角形”不存在.

（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立并化簡(jiǎn)得：

設(shè)，，，

，，

由（1）得，即，所以

由得：，，

代入方程，解得：，∴直線的方程為.

（3）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立并化簡(jiǎn)得：，

∵直線與拋物線相交，∴判別式， 即.

，∴，

由，得，即

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又∵點(diǎn)在拋物線上，∴，得，

∵，即，∴，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo).