Question

橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．

（Ⅰ）當(dāng)|CD|=時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時，求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）y=x+1（Ⅱ）見解析

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓有兩頂點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），焦點(diǎn)F（0，1），可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，b=1，c=1，，可以求得橢圓的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式可求出直線l的方程；
（Ⅱ）根據(jù)過其焦點(diǎn)F（0，1）的直線l的方程可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，該直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，和直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q，求出直線AC與直線BD的方程，解該方程組即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入即可證明結(jié)論．
（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），
由已知得b=1，c=1，所以a=，
橢圓的方程為，
當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得（k²+2）x²+2kx﹣1=0，
則x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，
∴|CD|==
==，
解得k=．
∴直線l的方程為y=x+1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l與x軸垂直時與題意不符，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），
由（Ⅰ）知x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，
且直線AC的方程為y=，且直線BD的方程為y=，
將兩直線聯(lián)立，消去y得，
∵﹣1＜x₁，x₂＜1，∴與異號，
=
=，
y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1==﹣，
∴與y₁y₂異號，與同號，
∴=，解得x=﹣k，
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣k，y₀），
=（﹣，0）•（﹣k，y₀）=1，
故為定值．
點(diǎn)評：此題是個難題．本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想