Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-ax）e^x（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
（3）函數(shù)f（x）可否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，由f（x）=（x²-2x）e^x，知f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，由f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，知a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

對一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
故g（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，由此能求出a的取值范圍．
（3）f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，設(shè)t=x²+（2-a）x-a，由△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，知x∈R時(shí)，t不恒為正值，也不恒為負(fù)值，故f（x）在R上不可能單調(diào)．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，令f′（x）＜0即（x²-2）e^x＜0，
∴x²-2＜0，∴-

2

＜x＜

2

，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

2

，

2

）．
（2）f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax）e^x=[x²+（2-a）x-a]e^x，
∵f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，∴x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）≤0恒成立，
即x∈（-1，1）時(shí)，x²+（2-a）x-a≤0恒成立．即a≥

x2+2x

x+1

=x+1-

1

x+1

對一切x∈（-1，1）恒成立，令g(x)=x+1-

1

x+1

，g′(x)=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．∴g（x）≤1+1-

1

1+1

=

3

2

，a≥

3

2

，
即a的取值范圍是[

3

2

，+∞）．
（3）∵f′（x）=[x²+（2-a）x-a]e^x，設(shè)t=x²+（2-a）x-a，
△=（2-a）²+4a=a²+4＞0，∴x∈R時(shí)，t不恒為正值，也不恒為負(fù)值．
即f′（x）的值不恒正，也不恒負(fù)，故f（x）在R上不可能單調(diào)．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)．