Question

已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；

(3)若，使成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是;(2) ; (3) ．

【解析】

試題分析：(1)對求導(dǎo)函數(shù)后，解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由題知在上恒成立，即，可得，所以得的取值范圍；（3）原命題等價于當(dāng)時，有對進(jìn)行討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的范圍．

解：由已知函數(shù)的定義域均為,且． 1分

(1)函數(shù),

當(dāng)且時,;當(dāng)時,．

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是． 3分

(2)因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．

所以當(dāng)時，．

又，

故當(dāng)，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 6分

(3)命題“若使成立”等價于

“當(dāng)時，有”．

由（Ⅱ），當(dāng)時，，．

問題等價于：“當(dāng)時，有”． 8分

當(dāng)時，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，

則=，故．

當(dāng)時，由于在上為增函數(shù)，

故的值域為，即．

(i)若，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，=，不合題意． 10分

(ii)若，即，由的單調(diào)性和值域知，

唯一，使，且滿足：

當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以，=，．

所以，，與矛盾，不合題意．

綜上，得． 14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的綜合運用．