Question

10．已知O（0，0），M（2，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\sqrt{2}$；若|$\overrightarrow{OC}$|=1，在P的軌跡上存在A，B兩點(diǎn)，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，則|$\overrightarrow{AB}$|的取值范圍是[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]．

Answer 1

分析 先求出P的軌跡方程，再由題意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圓心（0，0）半徑為r=1的圓，在圓O上存在A，B兩點(diǎn)，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即過(guò)圓x²+y²=1同一點(diǎn)的兩條直線相互垂直圓x²+y²=2交點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，即可求AB的距離．

解答 解：設(shè)P（x，y），則
∵M(jìn)（2，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\sqrt{2}$，
∴（x-2）²+y²=2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²=2；
由題意：|$\overrightarrow{OC}$|=1，看成是以圓心（0，0）半徑為r=1的圓，在圓O上存在A，B兩點(diǎn)，有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0成立，即過(guò)圓x²+y²=1同一點(diǎn)的兩條直線相互垂直，
與圓x²+y²=2交點(diǎn)A，B，A₁，B₁點(diǎn)，如圖所示，|AB|為最大值，|A₁B₁|為最小值．C為圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)C（1，0），可得直線AB₁的方程為y=-x+1，
直線A₁B的方程為y=x-1，
圓x²+y²=2交點(diǎn)A，B，A₁，B₁點(diǎn)，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
解得A（$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$），B₁（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$）
根據(jù)對(duì)稱性：|AB|的最大值$\sqrt{3}+1$，|A₁B₁|的最小值$\sqrt{3}-1$．
故答案為：[$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}+1$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用特殊點(diǎn)求解．屬于中檔題．