(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.
求證：

若問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值.
（1）詳見解析，（2）時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為

試題分析：（1）先將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直：ABCD為矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根據(jù)線面垂直證線線垂直：因?yàn)镻D平面PAD，所以ABPD
（2）求四棱錐體積，關(guān)鍵要作出高.這可利用面面垂直性質(zhì)定理：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面積：設(shè)，則，故四棱錐P-ABCD的體積為
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大.
求二面角的余弦值，可利用空間向量求解，根據(jù)題意可建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量數(shù)量積求夾角余弦值即可.
試題解析：（1）證明：ABCD為矩形，故ABAD，
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD，因?yàn)镻D平面PAD，故ABPD
（2）解：過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.
故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中，
設(shè)，則，故四棱錐P-ABCD的體積為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240538048971304.png" style="vertical-align:middle;" />
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四棱錐的體積P-ABCD最大.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
故
設(shè)平面BPC的法向量，則由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量，從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐中,⊥平面,∥，,分別為線段的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面;    
（2）求證：⊥平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱的中點(diǎn).
（1）證明平面；
（2）若二面角P-AD-B為，
①證明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)在邊上，
（1）求證：平面；
（2）如果點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：//平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點(diǎn)．

(1)證明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1­CE­C1的正弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖4，在底面是直角梯形的四棱錐中，，面，，求面與面所成二面角的正切值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為________．
①若l⊥m，m?α，則l⊥α；②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α，則l∥m.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

[2013·南京模擬]已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題：
①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β；
②若l?α，l∥β，α∩β＝m，則l∥m；
③若α∥β，l∥α，則l∥β；
④若l⊥α，m∥l，α∥β，則m⊥β.
其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案