20．判斷并證明下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=|x+3|-|x-3|；
（2）$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$．

分析 分別求出兩個函數(shù)的定義域，然后利用奇偶性的定義判斷得答案．

解答 解：（1）f（x）=|x+3|-|x-3|是奇函數(shù)．
∵f（x）=|x+3|-|x-3|的定義域為R，
又f（-x）=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-（|x+3|-|x-3|）=-f（x），
∴f（x）=|x+3|-|x-3|為奇函數(shù)；
（2）$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，得x=±1．
∴$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0，即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是注意函數(shù)的定義域，是中檔題．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．化簡求值：
（1）0.064${\;}^{-\frac{1}{3}}$-（-$\frac{1}{8}$）0+16${\;}^{\frac{3}{4}}$+0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$；
（2）$\frac{1}{2}$lg2.5+lg2-lg$\sqrt{0.1}$-log29×log32．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．定義在（-1，1）上的減函數(shù)f（x）且滿足對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（log2x-1）+f（log2x）＜0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．設函數(shù)f（x）為定義在R奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=-2x2+4x+1，
（1）求：當x＜0時，f（x）的表達式；
（2）用分段函數(shù)寫出f（x）的表達式；
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）-a恰有三個零點，求a的取值范圍（只要求寫出結(jié)果）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的（　　）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=2x+1，x∈R}，則A∩B={y|y≥1}．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，\;\;\;\;\;\;\;x≥0\\ 4x-{x^2}，\;\;\;\;\;\;\;x＜0\end{array}$，則不等式$f（{\sqrt{x}}）＞f（{2x}）$的解集是{x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．若函數(shù)$f（x）=（{1+\sqrt{3}tanx}）cosx，-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$，則f（x）的最大值為（　�。�
A．1B．2C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{3}+1$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．設函數(shù)f（x）=x2-2tx+2，其中 t∈R．
（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
（2）若t=1，且對任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）-f（x2）≤8，求t的取值范圍．

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