【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n-3成立.
(1)求證:存在實(shí)數(shù)λ使得數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)公式得項(xiàng)之間遞推關(guān)系an=3an-1-2,再構(gòu)造an-1=3(an-1-1),由等比數(shù)列定義確定結(jié)論,(2)因?yàn)閿?shù)列為等差與等比乘積型,所以利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
試題解析:(1)證明:因?yàn)?/span>Sn=an+n-3,①
所以當(dāng)n=1時(shí),S1=a1+1-3,所以a1=4.
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1+n-1-3,②
由①②兩式相減得an=an-an-1+1,即
an=3an-1-2(n≥2).變形得an-1=3(an-1-1),而a1-1=3,
所以數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,
所以存在實(shí)數(shù)λ=-1,使得數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列.
(2)由(1)得an-1=3·3n-1=3n,
所以an=3n+1,nan=n·3n+n,所以Tn=(1×31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+…+n),
令Vn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n,③
則3Vn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1,④
由③④兩式相減得
-2Vn=3+32+33+…+3n-n×3n+1=-n×3n+1=·3n+1-,
所以Vn=·3n+1+,
Tn=·3n+1++.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,對(duì)于任意的,都有.
(1)求,;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)令問是否存在正數(shù)m,使得對(duì)一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出的值;
(2)求這200人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(3)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求這2組恰好抽到2人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知, 是橢圓的左右焦點(diǎn), 為橢圓的上頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線與軸的交點(diǎn)為, 為坐標(biāo)原點(diǎn),且, .
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于, 兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),證明:直線過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)形狀相同的小球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出2個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等.
(1)求從甲盒中取出的兩個(gè)球上的編號(hào)不都是奇數(shù)的概率;
(2)求從甲盒取出的小球上編號(hào)之和與從乙盒中取出的小球上編號(hào)之和相等的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線交于A,B兩點(diǎn),且,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N*).
(1)求m的值;
(2)若數(shù)列{bn}滿足=log2bn(n∈N*),求數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( )
A.若是函數(shù)的零點(diǎn),則是的整數(shù)倍
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相同
D.函數(shù)的圖象可由的圖象先向上平移個(gè)單位長度,再向左平移個(gè)單位長度得到
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