【題目】如圖,在三棱錐S﹣ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn). (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.

【答案】證明: (Ⅰ)由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA,連接OA,△ABC為等腰直角三角形,
所以 ,且AO⊥BC,
又△SBC為等腰三角形,故SO⊥BC,
,從而OA2+SO2=SA2
所以△SOA為直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BO=O.
所以SO⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA分別為x軸、y軸的正半軸,
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.
設(shè)B(1,0,0),則C(﹣1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC的中點(diǎn)

等于二面角A﹣SC﹣B的平面角.
,
所以二面角A﹣SC﹣B的余弦值為

【解析】(1)欲證SO⊥平面ABC,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內(nèi)兩相交直線垂直,而SO⊥BC,SO⊥AO,又AO∩BO=O,滿足定理?xiàng)l件;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA分別為x軸、y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,求出兩半平面的法向量,求出兩法向量的夾角即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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