精英家教網(wǎng)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準(zhǔn)線方程是x=
25
4
,其左、右頂點(diǎn)分別是A、B;雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一條漸近線方程為3x-5y=0.
(1)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;
(2)在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P,連接AP交橢圓C1于點(diǎn)M,連接PB并延長交橢圓C1于點(diǎn)N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.
分析:(1)由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得:
a=5
b=3
c=4
,由此能夠求出橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率.
(2)由A(-5,0),B(5,0),設(shè)M(x0y0),則由
AM
=
MP
,得M為AP的中點(diǎn),P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0+5,2y0),將M、P坐標(biāo)代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1
,解之得P(10,3
3
)
,直線PB:y=
3
3
5
(x-5)
,由此能夠求出
MN
AB
=0
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由已知
a2
c
=
25
4
b
a
=
3
5
c2=a2-b2
解得:
a=5
b=3
c=4

∴橢圓的方程為
x2
25
+
y2
9
=1
,雙曲線的方程
x2
25
-
y2
9
=1

c′=
25+9
=
34
,
∴雙曲線的離心率e2=
34
5
(5分)
(2)由(Ⅰ)A(-5,0),B(5,0),設(shè)M(x0,y0),則由
AM
=
MP

得M為AP的中點(diǎn),∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0+5,2y0
將M、P坐標(biāo)代入C1、C2方程得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0+5)2
25
-
y02
9
=1

消去y0得2x02+5x0-25=0,
解之得x0=
5
2
x0=-5(舍)
,
由此可得P(10,3
3
)
,直線PB:y=
3
3
10-5
(x-5)
,
y=
3
3
5
(x-5)

代入
x2
25
+
y2
9
=1得:2x2-15x+25=0

x=
5
2
或5(舍)
xN=
5
2
,∴xN=xM,
故MN⊥x軸,所以
MN
AB
=0
(12分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程及雙曲線離心率的求法,計(jì)算
MN
AB
的值.解題時(shí)要熟練掌握解決直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識,解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
5
3

(1)求橢圓C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓C1上,對角線BD所在的直線的斜率為1.
①當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,
1
7
)時(shí),求直線AC的方程;
②當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程.
(Ⅱ)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1,且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線l2垂直l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦,垂足為右焦點(diǎn)F2,求四邊形ABCD的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則b2=
0.5
0.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•汕頭一模)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,右頂點(diǎn)為A,離心率e=
1
2

(1)設(shè)拋物線C2:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1,求橢圓的方程;
(2)設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn),頂點(diǎn)為焦點(diǎn),b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn),問是否存在常數(shù)λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案