Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（－2，0）、B（2，0），異于A、B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)P滿足，其中k₁、k₂分別表示直線AP、BP的斜率．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與（I）中軌跡E交予點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），點(diǎn)C（1，0），求證：|CM|·|CN| 為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）先得到直線MN過(guò)定點(diǎn)C（1，0）

【解析】

試題分析：解:(Ⅰ)設(shè),由得  ,其中,

整理得點(diǎn)的軌跡方程為.           

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(),

設(shè),則,,

從而.                             

而,直線斜率,

直線與以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,.

方程為,即,過(guò)定點(diǎn)      

定值證法一:即三點(diǎn)共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,,為定值.                    

定值證法二:直線:,直線:,  

聯(lián)立得,,

,為定值.

考點(diǎn)：橢圓的方程；直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于曲線的大題，第一問(wèn)一般是求出曲線的方程，第二問(wèn)常與直線結(jié)合起來(lái)，當(dāng)涉及到交點(diǎn)時(shí)，常用到根與系數(shù)的關(guān)系式：（）。