Question

已知（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列：
（1）求展開(kāi)式的中間項(xiàng)．
（2）求展開(kāi)式中的x的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1，依題意，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，可求得n=8，從而可求展開(kāi)式的中間項(xiàng)；
（2）由）T_r+1=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

⇒r=0，4，8時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式即可求得這三項(xiàng)．

解答：解：（1）設(shè)（

x

+

1

2

4	1 x

）ⁿ展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1，
則T_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•x

n-r

2

•x-

r

4

=(

1

2

)r•

C

r n

•x

2n-3r

4

，
∵(

1

2

)0•

C

0 n

，(

1

2

)1•

C

1 n

，(

1

2

)2•

C

2 n

成等差數(shù)列，
∴

C

1 n

=1+

C 2 n

4

，即

n(n-1)

8

-n+1=0，
解得n=8或n=1（舍去），
∴n=8．
∴展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第5項(xiàng)，T₅=(

1

2

)4•

C

4 8

•x=

70

16

x=

35

8

x．
（2）∵T_r+1=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

，
∴當(dāng)r=0，4，8時(shí)，T_r+1為有理項(xiàng)，
∴T₁=x⁴，
T₅=

35

8

x，
T₉=(

1

2

)8•

C

8 8

•x^-2=

1

256

x^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)與運(yùn)算能力，屬于中檔題．