如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,M是PD的中點(diǎn).

(1)求證:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直線CD與平面ACM所成角的正弦值;
(3)以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球交PC于點(diǎn)N求點(diǎn)N到平面ACM的距離.
(1)先證明AM⊥平面PCD;(2);(3)。

試題分析:(1)由底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,解得BP=2=BD
又M在PD上,且BM⊥PD,∴M為BD中點(diǎn),∴AM⊥PD;
又BA⊥PA,且BA⊥AD,PA∩AD=A,∴BA⊥平面PAD,
∴BA⊥AM,
∵CD⊥AM,PD∩CD=D,∴AM⊥面PCD,
∵AM?平面ABM,
∴平面ABM⊥平面PCD。
(2)建右手系,用向量計(jì)算,
平面ACM的一個(gè)法向量是n=(2,-1,1)
所求角的正弦值為
(3)由條件可得AN⊥NC,
所求距離為
點(diǎn)評(píng):中檔題,立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,是高考常?疾榈膬(nèi)容。關(guān)于距離的計(jì)算通常有兩種思路,一是幾何法,注意“一作、二證、三計(jì)算”;二一種思路,是利用空間向量,簡化證明過程。
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設(shè)有一幾何體的三視圖如下,則該幾何體體積為(   )
          
正視圖                             側(cè)視圖

俯視圖(圓和正方形)   
A.4+B.4+C.4+D.4+

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