【題目】是一個的方格表,在每一個小方格內(nèi)各填一個正整數(shù).中的一個方格表的所有數(shù)的和為10的倍數(shù),則稱其為“好矩形”;若中的一個的小方格不包含于任何一個好矩形,則稱其為“壞格”.中壞格個數(shù)的最大值.

【答案】25

【解析】

首先用反證法證明:中壞格不多于25個.

假設結論不成立.則方格表中至多有1個小方格不是壞格.由表格的對稱性,不妨假設此時第1行都是壞格.

設方格表列從上到下填的數(shù)依次為、、.

,,其中,.

下面證明:三組數(shù);都是模10的完全剩余系.

事實上,假如存在、,使.則,即第1行的第列至第列組成一個好矩形,與第1行都是壞格矛盾.

又假如存在、,使.則,即第2行至第3行、第列至第列組成一個好矩形.

從而,至少有2個小方格不是壞格,矛盾.

類似地,也不存在,使.

.

,矛盾.

于是,假設不成立,即壞格不可能多于25個.

其次構造如下一個的方格表(表1),可驗證每個不填10的小方格都是壞格.此時,有25個壞格.

表 1

1

1

1

2

1

1

1

1

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

1

1

1

1

2

綜上,壞格個數(shù)的最大值是25.

練習冊系列答案
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表示多位數(shù)時,個位用縱式,十位用橫式,百位用縱式,千位用橫式,以此類推,遇零則置空,如圖:

如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中,那么可以表示的三位數(shù)的個數(shù)為( )

A.

B.

C.

D.

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分數(shù)不少于

分數(shù)不足

合計

線上學習時間不少于小時

線上學習時間不足小時

合計

2)在上述樣本中從分數(shù)不足于分的學生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學習時間不少于小時和線上學習時間不足小時的學生共名,若在這名學生中隨機抽取人,求這人每周線上學習時間都不足小時的概率.(臨界值表僅供參考)

(參考公式,其中

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A. B. C. D.

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