7.已知p是曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=\sqrt{3}sinβ}\end{array}\right.$上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是該曲線的兩個焦點,若△F1PF2內(nèi)角平分線的交點到三邊上的距離為1,則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值為( 。
A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{9}{4}$C.-$\frac{9}{4}$D.0

分析 將曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1.則a2=4,b2=3,c2=1.設(shè)∠F1PF2=θ,利用余弦定理和正弦定理求得θ的值,易得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值.

解答 解:由曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=\sqrt{3}sinβ}\end{array}\right.$得到:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
則a2=4,b2=3,c2=1.
∵三角△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為1,設(shè)∠F1PF2=θ,
∴cosθ=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$
=$\frac{(|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|)^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{(2a)^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-4{c}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{2^{2}-|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
=$\frac{2^{2}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$-1.
而S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF1||PF2|sinθ=$\frac{sinθ}{2}$•$\frac{2^{2}}{cosθ+1}$=b2•tan$\frac{θ}{2}$,
∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$(2a+2c)×1=b2•tan$\frac{θ}{2}$,
即2+1=3tan$\frac{θ}{2}$,
故tan$\frac{θ}{2}$=1,θ=90°,
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0.
故選:D.

點評 本題考查了參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,正弦定理、余弦定理,考查計算能力,屬于中檔題型.

練習冊系列答案
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17.已知:數(shù)列{an},{bn}中,a1=0,b1=1,且當n∈N*時,an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求最小自然數(shù)k,使得當n≥k時,對任意實數(shù)λ∈[0,1],不等式(2λ-3)bn≥(2λ-4)an+λ-3恒成立.

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(III)函數(shù)f(x)在(-1,0)上的單調(diào)性如何?(直接寫出答案,不要求寫證明過程).

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16.下列命題中正確命題的個數(shù)是( 。
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②p是q的必要不充分條件,則¬p是¬q的充分不必要條件
③命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題.
④若p∨q為真命題,則p∧q為真命題.
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17.已知函數(shù)f(x)=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+sinx,則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=(  )
A.0B.5C.4D.1

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