Question

已知過(guò)點(diǎn)M（1，4）的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OC

=

OA

+

OB

，則四邊形OACB周長(zhǎng)的最小值等于（　�。�

A．9

B．12

C．18

D．20

Answer 1

分析：由題意易得

1

a

+

4

b

=1，周長(zhǎng)為2（a+b），代入可得2（a+b）（

1

a

+

4

b

）=10+2（

b

a

+

4a

b

），由基本不等式可得答案．

解答：解：由題意設(shè)A（a，0）、B（0，b），其中a，b均為正數(shù)，
可知四邊形OACB為矩形，其周長(zhǎng)為2a+2b，
由直線的截距式方程可得：
過(guò)點(diǎn)M（1，4）的直線方程為

x

a

+

y

b

=1，
代入點(diǎn)M（1，4）可得

1

a

+

4

b

=1，
故2a+2b=2（a+b）=2（a+b）（

1

a

+

4

b

）
=10+2（

b

a

+

4a

b

）≥10+4

b a • 4a b

=18，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即a=3，b=6時(shí)取等號(hào)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值，涉及向量的運(yùn)算，其中

1

a

+

4

b

=1的整體代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．