設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)，有.

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）將代入方程得到，結(jié)合題中條件（數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，得到）求出的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結(jié)合得到的表達(dá)式，然后在的情況下，由求出數(shù)列的表達(dá)式，并驗(yàn)證是否滿足該表達(dá)式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）解法一是利用放縮法得到
，于是得到，最后利用裂項(xiàng)求和法證明題中的不等式；解法二是保持不放縮，在的條件下放縮為
，最后在和時(shí)利用放縮法結(jié)合裂項(xiàng)法證明相應(yīng)的不等式.
（1）令得：，即，，
，，即；
（2）由，得，
，，從而，，
所以當(dāng)時(shí)，，
又，；
（3）解法一：當(dāng)時(shí)，，




.
證法二：當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，，
則
 
.
考點(diǎn)：本題以二次方程的形式以及與的關(guān)系考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式的綜合問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為       .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請說明理由．
（3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對于都有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的問題，全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林，其中西部占70%，2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問，從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題？
(2)為支持退耕還林工作，國家財(cái)政補(bǔ)助農(nóng)民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計(jì)算，并且每畝退耕地每年補(bǔ)助20元，試問到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時(shí)，國家財(cái)政共需支付約多少億元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；
（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

數(shù)列，則數(shù)列的前19項(xiàng)和為       

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

求下面各數(shù)列的前n項(xiàng)和：
(1)，…
(2) ，…

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