Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求b-a的最小值.

Answer 1

【答案】(1)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（0，e）;(2).

【解析】分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）由題意得，可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，即恒成立，，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得的最小值.

詳解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．

f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．

x∈（0，e）時，f′（x）＜0，∈（e，+∞）時，f′（x）＞0．

函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（0，e）；

（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．

令f′（x）=0，得x=ea．x∈（0，e a）時，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）時，f′（x）＞0．

函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ea，+∞），減區(qū)間為（0，ea）

∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，

∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，則b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a

令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，設(shè)g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．

當(dāng)t∈（0，）時，g′（t）＜0，當(dāng)時，g′（t）＞0．

∴g（t）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增．

∴g（t）min=g（）=．f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值為．