Question

1．若關(guān)于x的方程2^2x+a•2^x+a+1=0只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]$∪\{2-2\sqrt{2}\}$．

Answer 1

分析 先令t=2^x，則關(guān)于t方程為t²+at+a+1=0 有實(shí)根，結(jié)合二次方程根的分布即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令2^x=t＞0，原方程即為t²+at+a+1=0
則原方程有實(shí)根等價(jià)于關(guān)于t的方程t²+at+a+1=0只有一正根．
于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜-1；
或f（0）=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，即a+1=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，解得a=-1．
或△=0并且$-\frac{a}{2}＞0$，即：a²-4a-4=0并且a＜0，解得a=2-2$\sqrt{2}$．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪{2-2$\sqrt{2}$}．
故答案為：（-∞，-1]∪{2-2$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，以及利用二次方程根的分布求變量范圍，屬于中檔題．