Question

8．如表是某班（共30人）在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)（單位：分）

學(xué)號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
數(shù)學(xué)成績(jī)	114	106	115	77	86	90	95	86	97	79	100	78	77	113	60
物理成績(jī)	72	49	51	29	57	49	62	22	63	29	42	21	37	46	21

學(xué)號(hào)	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
數(shù)學(xué)成績(jī)	89	74	82	95	64	87	56	65	43	64	64	85	66	56	51
物理成績(jī)	65	45	33	28	29	28	39	34	45	35	35	34	20	29	39

將數(shù)學(xué)成績(jī)分為兩個(gè)層次：數(shù)學(xué)Ⅰ（大于等于80分）與數(shù)學(xué)Ⅱ（低于80分），物理也分為兩個(gè)層次：物理Ⅰ（大于等于59分）與物理Ⅱ（低于59分）．
（1）根據(jù)這次考試的成績(jī)完成下面2×2列聯(lián)表，并運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行探究，可否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)”？

	物理Ⅰ	物理Ⅱ	合計(jì)
數(shù)學(xué)Ⅰ	4
數(shù)學(xué)Ⅱ		15
合計(jì)			30

（2）從該班這次考試成績(jī)中任取兩名同學(xué)的成績(jī)，記ξ為數(shù)學(xué)與物理成績(jī)都達(dá)到Ⅰ層次的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
可能用到的公式和參考數(shù)據(jù)：K²=$\frac{（a+b+c+d）（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表（部分）

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)考試成績(jī)填寫列聯(lián)表，利用公式計(jì)算K²，根據(jù)所給參數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）由題意知ξ滿足超幾何分布，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，寫出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)這次考試的成績(jī)填寫2×2列聯(lián)表，如下；

	物理Ⅰ	物理Ⅱ	合計(jì)
數(shù)學(xué)Ⅰ	4	11	15
數(shù)學(xué)Ⅱ	0	15	15
合計(jì)	4	26	30

假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)無(wú)關(guān)，由公式得
K²=$\frac{（a+b+c+d）（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{30{×（4×15-0×11）}^{2}}{15×15×4×26}$=$\frac{60}{13}$≈4.61＞3.841，
根據(jù)所給參數(shù)可知數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)無(wú)關(guān)的概率小于5%，
即有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)”；
（2）由題意知ξ滿足超幾何分布，
從該班這次考試成績(jī)中任取兩名同學(xué)的成績(jī)共有${C}_{30}^{2}$=435種可能，
抽取的兩人均達(dá)到Ⅰ層次的概率是$\frac{{C}_{4}^{2}}{435}$=$\frac{6}{435}$=$\frac{2}{145}$，
抽取的兩人僅有1人同時(shí)達(dá)到Ⅰ層次的概率是$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{26}^{1}}{435}$=$\frac{104}{435}$，
抽取的兩人同時(shí)到達(dá)層次Ⅰ的概率是1-$\frac{6}{435}$-$\frac{104}{435}$=$\frac{325}{435}$=$\frac{65}{87}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	$\frac{65}{87}$	$\frac{104}{435}$	$\frac{2}{145}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{65}{87}$+1×$\frac{104}{435}$+2×$\frac{2}{145}$=$\frac{116}{435}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算問題，是綜合性題目．