Question

設(shè)直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，從而解決問(wèn)題．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（I），得，由，得y₂=從而求得△OAB的面積，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值時(shí)的k值，從而△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程即可．
解答：解：（Ⅰ）依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，
故y=k（x+1）可化為
將代入x²+3y²=a²，消去x，
得①（1分）
由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得
△=（2分）
化簡(jiǎn)整理即得．（☆）（4分）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得②（5分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180913611082612/SYS201310241809136110826019_DA/9.png">，由，
得y₁=-2y₂③（6分）
由②③聯(lián)立，解得y₂=④（7分）
△OAB的面積
=
上式取等號(hào)的條件是3k²=1，即（9分）
當(dāng)時(shí)，由④解得；
當(dāng)時(shí)，由④解得．
將及這兩組值分別代入①，
均可解出a²=5（11分）
經(jīng)驗(yàn)證，a²=5，滿足（☆）式．
所以，△OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程是x²+3y²=5（12分）
注：若未驗(yàn)證（說(shuō)明）滿足（☆）式，扣（1分）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、基本不等式、橢圓方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．