Question

已知函數(shù)（）
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，證明不等式 .

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）見解析

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)進行分類討論，當導(dǎo)函數(shù)大于0時，得到增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0時得到減區(qū)間。（2）含參數(shù)不等式恒成立問題，一般要把要求參數(shù)分離出來，然后討論分離后剩下部分的最值即可。討論最值的時候要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。（3）證明不等式可以有很多方法，但本題中要利用（1）（2）的結(jié)論。構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性給予證明。
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，        1分
當時，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減  3分
當時，若，則，從而，
若，則，從而，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；          5分
（2）由（1）得函數(shù)的極值點是，故      6分
所以，即，
由于，即.              7分
令，則
當時，；當時，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；           9分
故，所以實數(shù)的取值范圍為          10分
（3）不等式       11分
構(gòu)造函數(shù)，則，
在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，      13分
由于，所以，得
故      14分