(文)已知函數(shù),(a,b∈R)
(Ⅰ)當(dāng)b=0時(shí),若f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅱ)求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)(a,b):當(dāng)a是整數(shù)時(shí),存在x,使得f(x)是f(x)的最大值,g(x)是g(x)的最小值;
(Ⅲ)對(duì)滿足(Ⅱ)的條件的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b),試構(gòu)造一個(gè)定義在D={x|x>-2,且x≠2k-2,k∈N}上的函數(shù)h(x),使當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),h(x)=f(x),當(dāng)x∈D時(shí),h(x)取得最大值的自變量的值構(gòu)成以x為首項(xiàng)的等差數(shù)列.
【答案】分析:(Ⅰ)當(dāng)b=0,時(shí),f(x)=ax2-4x,討論a的取值,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性建立a的不等關(guān)系即可;
(Ⅱ)討論a為0時(shí)不可能,要使f(x)有最大值,必須滿足 ,求出此時(shí)的x=x,根據(jù)g(x)取最小值時(shí),x=x=a,建立等量關(guān)系,結(jié)合a是整數(shù),求出a和b的值.
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是(-1,-1),(-1,3)時(shí),f(x)=-x2-2x,依題意,只需構(gòu)造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可.
解答:解:(Ⅰ)當(dāng)b=0時(shí),f(x)=ax2-4x,
若a=0,f(x)=-4x,則f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減,不符題意.
故a≠0,要使f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,必須滿足,∴a≥1.
(Ⅱ)若a=0,,則f(x)無(wú)最大值,故a≠0,∴f(x)為二次函數(shù),
要使f(x)有最大值,必須滿足,即a<0且
此時(shí),時(shí),f(x)有最大值.
又g(x)取最小值時(shí),x=x=a,依題意,有,則,
∵a<0且,∴,得a=-1,此時(shí)b=-1或b=3.
∴滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是(-1,-1),(-1,3).
(Ⅲ)當(dāng)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)是(-1,-1),(-1,3)時(shí),f(x)=-x2-2x
依題意,只需構(gòu)造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可.
如對(duì)x∈(2k-2,2k),k∈N,x-2k∈(-2,0),
此時(shí),h(x)=h(x-2k)=f(x-2k)=-(x-2k)2-2(x-2k),
故h(x)=-(x-2k)2-2(x-2k),x∈(2k-2,2k),k∈N.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題.等差關(guān)系的確定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,以及函數(shù)的最值及其幾何意義,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(文) 已知函數(shù) f(x)=-3x2+(6a-a2)x+b.
(1)若不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時(shí),求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若f(1)=0,當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(文)已知函數(shù)f(x)=
aa2-2
(ax-a-x)
(a>0,a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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