【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于，兩個相異點，證明：面積為定值.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.

（2）當直線斜率不存在時，易得的面積，當直線斜率存在時，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，

利用弦長公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計算出的面積.得到結(jié)論為定值.

（1）解：因為的離心率為，

所以，

解得.①

將點代入，整理得.②

聯(lián)立①②，得，，

故橢圓的標準方程為.

（2）證明：①當直線的斜率不存在時，

點為或，由對稱性不妨取，

由（1）知橢圓的方程為，所以有.

將代入橢圓的方程得，

所以 .

②當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，

將代入橢圓的方程

得，

由題意得，

整理得.

將代入橢圓的方程，

得.

設(shè)，，

則，，

所以 .

設(shè)，，，則可得，.

因為，所以，

解得（舍去），

所以，從而.

又因為點到直線的距離為，

所以點到直線的距離為，

所以 ，

綜上，的面積為定值.

練習冊系列答案
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【題目】已知橢圓經(jīng)過點，長軸長是短軸長的2倍.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線經(jīng)過點且與橢圓相交于兩點（異于點），記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值，并求出該定值.

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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；

（2）估計該公司投入4萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

廣告投入x（單位：萬元）

1

2

3

4

5

銷售收益y（單位：萬元）

1

3

4

7

表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入上表的空白欄，并計算y關(guān)于x的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.

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【題目】已知拋物線,拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為.

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準線方程;

(Ⅱ)過的直線交拋物線于不同的兩點,交直線于點,直線交直線于點. 是否存在這樣的直線,使得? 若不存在,請說明理由;若存在,求出直線的方程.

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【題目】設(shè)橢圓，定義橢圓的“相關(guān)圓”方程為．若拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形．

(1)求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；

(2)過“相關(guān)圓”上任意一點的直線與橢圓交于兩點．為坐標原點，若，證明原點到直線的距離是定值，并求的取值范圍.

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【題目】已知橢圓:,過橢圓右焦點的最短弦長是,且點在橢圓上.

（1）求該橢圓的標準方程;

（2）設(shè)動點滿足:,其中,是橢圓上的點,直線與直線的斜率之積為,求點的軌跡方程并判斷是否存在兩個定點、,使得為定值？若存在,求出定值;若不存在,說明理由.

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