Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關于點（1，1）對稱，且f（x）=2^x．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關于點（1，1）的對稱點為P（x，y），則

x0+x 2 =1 y0+y 2 =1

即

x0=2-x y0=2-y.

由點Q（x₀，y₀）在函數(shù)y=f（x）的圖象上可得，y0=2x0，從而可求y=f（x）
（Ⅱ） 由（I）可得h（x）=2x+

4λ

2x

在[1，+∞）上是增函數(shù)，即可得當1≤x₁＜x₂時，h（x₂）-h（x₁）＞0，⇒2x1+x2＞4λ，從而可求

解答：解：（Ⅰ）設函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關于點（1，1）的對稱點為P（x，y），則

x0+x 2 =1 y0+y 2 =1

即

x0=2-x y0=2-y.

（4分）
∵點Q（x₀，y₀）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，y0=2x0
∴2-y=2^2-x，即y=2-2^2-x，故g（x）=2-2^2-x．（6分）
（Ⅱ） h(x)=f(x)-λg(x)+2λ=2x-λ(2-

4

2x

)+2λ=2x+

4λ

2x

（7分）
設1≤x₁＜x₂，h(x1)-h(x2)=2x2+

4λ

2x2

-(2x1+

4λ

2x1

)
=2x2-2x1+

4λ

2x2

-

4λ

2x1

=2x2-2x1+

4λ(2x1-2x2)

2x2+x1

=(2x2-2x1)

(2x1+x2-4λ)

2x2+x1

（10分）
h（x）=f（x）-λg（x）+2λ（λ＞0）在[1，+∞）上是增函數(shù)h（x₂）-h（x₁）＞0，
(2x2-2x1)

(2x1+x2-4λ)

2x2+x1

＞0⇒2x1+x2-4λ＞0（12分）
⇒2x1+x2＞4λ，∵x₂＞x₁≥1，⇒x₂+x₁＞2，
⇒2x1+x2＞4，∴4≥4λ∴0＜λ≤1為所求                                            （14分）

點評：本題主要考查了關于點對稱的函數(shù)的解析式的求解，主要利用的是中點坐標公式，函數(shù)的單調性的定義的應用及單調性中的恒成立的問題．